Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- users:tomasakr [2017/02/03 12:56] – [2.] tomasakr
+++ users:tomasakr [2017/02/03 12:59] (current) – [6.] tomasakr
@@ Line 124: / Line 124: @@
   -(2) Udejte příklad funkce konvexní na intervalu <math>(-\infty,1)</math> a konkávní na <math>(1,\infty)</math>.
   -(3) Zjistit, na jakém intervalu je zadaná funkce konvexní/konkávní.
+== 7. (2016) ==
+  - Napište postačující podmínku pro konkávnost křivky <math>(J)</math>.
+<hidden onHidden="**[+] Řešení**" onVisible="**[-] Řešení**">
+Pro každé <math>x_1,x_2,x_3 \in J</math>  splňující <math>x_1 < x_2 < x_3</math> leží bod <math>(x_2,f(x_2))</math> nad přímkou spojující body <math>(x_1,f(x_1))</math> a <math>(x_3,f(x_3))</math>, nebo na ní.
+Lepsi reseni bude asi toto
+Necht f je spojita na J a ma druhou derivaci ve vsech bodech J
+prave kdyz F'' =< 0 na J
+</hidden>
+  - Ukažte funkci, která je konvexní na (-inf,0) a konkávní na (0,inf)
+<hidden onHidden="**[+] Řešení**" onVisible="**[-] Řešení**">
+<math>-x^3</math>
+Overime 2. derivaci.
+. derivace <math>-3x^2</math>
+. derivace <math>-6x</math>
+Pro x>0 jsou hodnot zaporne proto konvexni
+pro x<0 jsou hodnot kladne proto konkavni
+</hidden>
 ==== 5. Taylorovy polynomy ====
 == 1. ==
@@ Line 158: / Line 182: @@
   - Napište větu o substituci neurčitého integrálu (alespoň jednu variantu)
   - Vypočítejte <math>\int_{1}^{e}{\frac{\sin^2(\ln(x))}{x}}</math>
+== 6.(2016) ==
+  - Definujte křivku v <math>R^2</math>.
+<hidden onHidden="**[+] Řešení**" onVisible="**[-] Řešení**">
+Buďte <math>f</math> a <math>g</math> dvě spojité funkce na intervalu <math><a,b></math>. Protom zobrazení <math>F : <a,b> \to \mathbb{R}^2</math> definované předpisem
+<math>F(t) = (f(t),g(t)), t \in <a,b></math>,
+nazýváme křivkou v <math>\mathbb{R}^2</math>.
+</hidden>
+\\
+  - Napište vzoreček pro výpočet délky křivky.
+<hidden onHidden="**[+] Řešení**" onVisible="**[-] Řešení**">
+<math>L = \int_a^b \sqrt{f'(t)^2 + g'(t)^2}\mathrm{d}t</math>
+</hidden>
+\\
+  - Parametrizujte a vypočítejte obvod kružnice s poloměrem R > 0.
+<hidden onHidden="**[+] Řešení**" onVisible="**[-] Řešení**">
+FIXME <math><a,b> = <0,2\pi></math> a <math>F(t) = (f(t),g(t)), t \in <a,b> = (R.cos(t),R.sin(t)), t \in <0,2\pi></math>
+<math>L = \int_0^{2\pi} \sqrt{f'(t)^2 + g'(t)^2}\mathrm{d}t = \int_0^{2\pi} \sqrt{(R.cos'(t))^2 + (R.sin'(t))^2}\mathrm{d}t = \int_0^{2\pi} \sqrt{(-Rsin(t))^2 + (R.cos(t))^2}\mathrm{d}t =  \int_0^{2\pi} \sqrt{R^2.(sin(t)^2 + cos(t)^2)}\mathrm{d}t = \int_0^{2\pi} R\mathrm{d}t = R[t]_0^{2\pi} = 2 \pi R</math>
+</hidden>
 ==== Ostatni ====
   -(2) Za jakých podmínek existuje tečna funkce <math>f</math> v bodě <math>a</math>? Uveďte rovnici tečny funkce <math>f</math> v bodě <math>a</math>.