===== BI-ZMA =====

==== 1. Realne posloupnosti ====
== 1. ==
  -(2) Definujte Landauovo O. Tj. uveďte kdy podle definice pro dvě posloupnosti (an), (bn) platí an = O(bn).
  -(2) Pro jaká <math>a \in R</math> platí <math>n^a</math> = O(n!). Své tvrzení zdůvodněte.
  -(2) Zformulujte Heineho větu.
  -(4) Vypočtěte limitu <math>\lim_{x\to\infty} {(1+sin{\frac{1}{n^2}})}^n</math>.
== 2. ==
  - Definujte ostře klesající posloupnost. Definujte ostře rostoucí posloupnost. Zaveďte pojem vybraná posloupnost.
  - Udejte příklad posloupnosti, ze které lze vybrat ostře rostoucí i ostře klesající posloupnost.
  - Definujte limitu posloupnosti.
  - Vypočítejte <math>\lim_{n\to\infty}{\frac{\sin(\frac{1}{\sqrt{n}})}{1-cos(\frac{1}{n})}}</math>

== 3. ==
  - Co musí podle definice splňovat posloupnost <math>a_n</math>, aby byla vybranou posloupností z posloupnosti <math>b_n</math>?
<hidden onHidden="**[+] Řešení**" onVisible="**[-] Řešení**">
Necht <math>Bn</math> je libovolna posloupnost a <math>A_n</math> je ostre rostouci posloupnost prirozenych cisel. Pak posloupost <math>A_n_k</math> je podposlounost/vybrana z <math>B_n</math>. 
</hidden>
\\
  - Napište posloupnost, která má právě tři vybrané posloupnoti s různými limitami.
<hidden onHidden="**[+] Řešení**" onVisible="**[-] Řešení**">
FIXME

<math>\sin(n(\pi/2))</math>

1) n dělitelné 2

2) n mod 4 = 1

3) n mod 4 = 3

Nebo

1) <math>sin(n\pi)</math>  limita = 0

2) <math>sin(n\pi+(\pi/2)</math>  limita = 1

3) <math>sin(n\pi-(\pi/2)</math> limita = -1

Nebo ještě jednodušeji

A(n)=n%3

</hidden>
\\
  - Ukažte, že posloupnost nemá limitu. <math>\lim_{n\to\infty}\frac{cos(\frac{n\pi}{1})}{e^{-n}}</math>
<hidden onHidden="**[+] Řešení**" onVisible="**[-] Řešení**">
Najdu dve vybrabe podposloupnosti, kazda musi mit jinou limitu. Pak neexistje limita zadane posloupnosti.

<math>\lim_{n\to\infty}\cos({2n\pi}){e^{n}} = \infty</math>

<math>\lim_{n\to\infty}\cos({2n\pi + \pi}){e^{n}} = -\infty</math>

Protoze kazda limita je jina limita puvodni posloupnosti neexistuje
</hidden>
==== 2. Ciselne rady ====
== 1. ==
  -(2) Definujte součet číselné řady.
  -(2) Uveďte příklad konvergentní číselné řady se součtem rovným <math>1</math>.
  -(2) Zformulujte postačující podmínku pro divergenci číselné řady.
  -(4) Rozhodněte o konvergenci číselné řady <math>\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{2k^{10}-k^4}</math>
== 2. ==
  - (2 body) Definujte pojmy korvergentní a divergentní číselné řady.
  - (2 body) Uveďte příklad divergentní číselné řady a příklad konvergentní číselné řady.
  - (2 body) Zformulujte d'Alambertovo kritérium pro číselné řady.
  - (3 body) Rozhodněte o konvergenci číselné řady <math>\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k^5 \cdot 2^k + k^2}{3^k}</math>
== 3. ==
  -(2) Definuj absolutní konvergenci číselné řady.
  -(1) Uveďte takovou číselnou řadu, která je konvergentní a zároveň není absolutně konvergentní.
  -(3) Zformulujte Bolzano-Cauchyovo kritérium pro číselné řady.
  -(4) Rozhodněte o konvergenci a absolutní konvergenci číselné řady <math>\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k\cdot k}{(k+1)^2}</math>.
==== 3. Limita a spojitost funkce ====
== 1. ==
  -(2) Udejte, co musí dle definice funkce <math>f</math> splňovat, aby platilo <math>\lim_{x\rightarrow-1} f(x)=1</math>
  -(1) Udejte příklad funkce splňující požadavek v předchozím bodě.
  -(3) Vyslovte větu o limitě součtu, součinu a podílu funkce.
  -(4) Vypočtěte <math>\lim_{x\to\frac{\pi}{2}} \frac{1-\sin{x}}{(2x-\pi) \cdot \ln{\frac{2x}{\pi}}}</math>
== 2. ==
  -(2) Udejte co musí dle definice funkce <math>f</math> splňovat, aby platilo <math>\lim_{x\rightarrow-1} f(x)=1</math>
  -(1) Udejte příklad funkce splňující požadavek v předchozím bodě.
  -(3) Vyslovte větu o limitě součtu, součinu a podílu.
  -(4) Vypočtěte <math>\lim_{x\to\frac{\pi}{2}} \frac{1-\sin{x}}{(2x-\pi) \cdot \ln{\frac{2x}{\pi}}}</math>

== 3. ==
  -(2) Udejte, co musí dle definice funkce <math>f</math> splňovat, aby platilo <math>\lim_{x\rightarrow-1} f(x)=1</math>
  -(1) Udejte příklad funkce splňující požadavek v předchozím bodě.
  -(3) Vyslovte větu o limitě součtu, součinu a podílu funkce.
  -(4) Vypočtěte <math>\lim_{x\to\frac{\pi}{2}} \frac{1-\sin{x}}{(2x-\pi) \cdot \ln{\frac{2x}{\pi}}}</math>
== 4. ==
  -(2) Definujte Landauovo O. Tj. uveďte kdy podle definice pro dvě posloupnosti (an), (bn) platí an = O(bn).
  -(2) Pro jaká <math>a \in R</math> platí <math>n^a</math> = O(n!). Své tvrzení zdůvodněte.
  -(2) Zformulujte Heineho větu.
  -(4) Vypočtěte limitu <math>\lim_{x\to\infty} {(1+sin{\frac{1}{n^2}})}^n</math>.
==== 4. Derivace ====
== 1. ==
  -(3) Definujte funkci <math>f</math> konvexní/konkávní v bodě a. Definujte funkci <math>f</math> konvexní/konkávní na intervalu <math>J</math>.
  -(2) Definujte vztah 2. derivace a konvexnosti/konkávnosti na intervalu <math>J</math>.
  -(2) Udejte příklad funkce konvexní na intervalu <math>(-\infty,1)</math> a konkávní na <math>(1,\infty)</math>.
  -(3) Zjistit, na jakém intervalu je zadaná funkce konvexní/konkávní.
== 2. ==
  -(3) Definujte derivaci funkce <math>f</math> v bodě <math>a \in D_f</math>.Dále zaveďte pojmy diferencovatelná funkce a funkce mající derivaci v bodě <math>a</math>.
  -(2) Definujte tečnu funkce <math>f</math> v bodě <math>a</math>.
  -(2) Udejte příklad funkce <math>f</math> mající v bodě <math>1</math> tečnu danou přímkou s rovnicí <math>y=1-x</math>
  -(4) Sestrojte tečny funkce <math>f(x)=\sqrt[3]{x^3+1}</math> v bodech <math>a=1</math> a <math>a=-1</math>.
== 3. ==
  - (2) Definujte derivaci funkce <math>f</math> v bodě <math>a \in \mathbb{R}</math>. Co musí funkce splňovat, abychom o ní mohli říct, že je diferencovatelná v bodě <math>a \in \mathbb{R}</math>       
  - (2) Existuje funkce diferencovatelná v bodě 0 a současně nespojitá v bodě 0 ? Případně uveďte příklad takovéto funkce.
  - (1) Udejte příklad funkce spojité v bodě 1, která nemá derivaci v bodě 1.
  - (5) Nalezněte definiční obor <math>D_f</math> funkce <math>f(x)=\frac{1}{\sqrt{\frac{\pi}{4}-\arctan{x}}}</math> a funkci <math>f</math> na <math>D_f</math> zderivujte.
  
== 4. ==
  - (2)Uveďte, co musí funkce <math>f</math> dle definice splňovat, aby platilo <math>\lim_{x \to -\infty}{f(x)}=4</math>.
  - (3) Uveďte, za jakých podmínek existuje inverzní funkce k funkci <math>f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}</math> a uveďte definici tohoto pojmu.
  - (2) Vypočtěte derivaci funkce <math>f(x)=x^x</math>.
	- (3) Vypočtěte <math>\lim_{x\to 0}{(1-x^2)^{\frac{1}{\sin{x}}}}</math>. Nápověda: Využijte exponenciální funkci a logaritmus.
== 5. ==
  - Napište definici derivace funkce f v bodě a a kdy je funkce diferencovatelná.
  - Určete hodnoty parametrů <math>a</math> a <math>b</math> funkce <math>g(x)=f(x)-ax+b</math> tak aby <math>g(1)=g'(1)=0</math>
  - Určete <math>D_f</math> funkce <math>f(x)=\arcsin\left(\frac{x}{1+x^2}\right)</math>
== 6. ==
  -(3) Definujte funkci <math>f</math> konvexní/konkávní v bodě a. Definujte funkci <math>f</math> konvexní/konkávní na intervalu <math>J</math>.
  -(2) Definujte vztah 2. derivace a konvexnosti/konkávnosti na intervalu <math>J</math>.
  -(2) Udejte příklad funkce konvexní na intervalu <math>(-\infty,1)</math> a konkávní na <math>(1,\infty)</math>.
  -(3) Zjistit, na jakém intervalu je zadaná funkce konvexní/konkávní.
== 7. (2016) ==
  - Napište postačující podmínku pro konkávnost křivky <math>(J)</math>.
<hidden onHidden="**[+] Řešení**" onVisible="**[-] Řešení**">
Pro každé <math>x_1,x_2,x_3 \in J</math>  splňující <math>x_1 < x_2 < x_3</math> leží bod <math>(x_2,f(x_2))</math> nad přímkou spojující body <math>(x_1,f(x_1))</math> a <math>(x_3,f(x_3))</math>, nebo na ní.  

Lepsi reseni bude asi toto 

Necht f je spojita na J a ma druhou derivaci ve vsech bodech J
prave kdyz F'' =< 0 na J 
</hidden>

  - Ukažte funkci, která je konvexní na (-inf,0) a konkávní na (0,inf)
<hidden onHidden="**[+] Řešení**" onVisible="**[-] Řešení**">
<math>-x^3</math> 

Overime 2. derivaci. 

1. derivace <math>-3x^2</math>

2. derivace <math>-6x</math>

Pro x>0 jsou hodnot zaporne proto konvexni
pro x<0 jsou hodnot kladne proto konkavni
</hidden>
==== 5. Taylorovy polynomy ====
== 1. ==
  -(2) Definujte n-tý Taylorův polynom funkce <math>f</math> v bodě <math>a</math>. Uveďte Taylorův vzorec.
  -(3) Zformulujte Taylorovu větu.
  -(2) Vypočtěte 3. Taylorův polynom funkce <math>g(x) = \sqrt{1 + x}</math> v bodě <math>0</math>.
  -(3) Odhadněte možnou chybu při aproximaci funkčních hodnot funkce <math>g</math> z předchozího bodu pomocí
jejího 3. Taylorova polynomu v bodě <math>0</math> na intervalu <math>\langle -\frac{1}{2} , \frac{1}{2} \rangle</math>.
==== 6. Primitivni funkce ====

==== 7. Riemannuv integral ====
== 1. ==
  -(2) Vyslovte větu o substituci v určitém integrálu.
  -(2) Vyslovte větu o vztahu určitého a neurčitého integrálu (Newtonovu formuli).
== 2. ==
  -(2) Definujte neurčitý integrál.
  -(2) Vyslovte větu o vztahu určitého a neurčitého integrálu (Newtonovu formuli).
  -(2) Vypočtěte určitý integrál z liché spojité funkce <math>f</math> na intervalu <math><-a,a>, a>0</math>
  -(4) Vypočtěte neurčitý integrál: <math>\int \frac{x^2+3}{x^2+4x+4} dx</math>
== 3. ==
  - (2 body) Definujte pojmy primitivní funkce k funkci <math>f</math> a neurčitý integrál funkce <math>f</math> na intervalu <math>(a,b)</math>.
  - (3 body) Zformulujte metodu integrace per partes pro určitý integrál.
	- (2 body) Uveďte příklad dvou různých funkcí primitivních k funkci <math>\tan{x}</math> na intervalu <math>(-\pi/2,\pi/2)</math>
	- (3 body) Vypočtěte obsah plochy rovinného útvaru ohraničeného grafy funkcí <math>f(x)=x \sin{x}, g(x)=-2x \sin{x},</math>, kde <math>D_f=D_g=\langle-\pi,\pi\rangle</math>.

== 4. ==
  -(2) Napište postačující podmínku pro existenci Riemannova integrálu funkce <math>f</math> na intervalu <math>\langle a,b \rangle</math>.   
  -(1) Existuje primitivní funkce k k funkci <math>f(x)=e^{-x^2}</math> na <math>R</math>?
  -(3) Zformulujte metodu integrace per partes pro určitý integrál. 
  -(4) Vypočtětě určitý integrál funkce <math>f(x)=x\cdot ln(x+1)</math> na intervalu <math>\langle 0,2 \rangle</math>.
== 5. ==
  - Newtonova formule
  - Funkce f je spojitě diferencovatelná na R. Vypočítejte <math>\int_{a}^{b}{f'(x)}</math>
  - Napište větu o substituci neurčitého integrálu (alespoň jednu variantu)
  - Vypočítejte <math>\int_{1}^{e}{\frac{\sin^2(\ln(x))}{x}}</math>
== 6.(2016) ==
  - Definujte křivku v <math>R^2</math>.
<hidden onHidden="**[+] Řešení**" onVisible="**[-] Řešení**">
Buďte <math>f</math> a <math>g</math> dvě spojité funkce na intervalu <math><a,b></math>. Protom zobrazení <math>F : <a,b> \to \mathbb{R}^2</math> definované předpisem

<math>F(t) = (f(t),g(t)), t \in <a,b></math>,

nazýváme křivkou v <math>\mathbb{R}^2</math>.
</hidden>
\\
  - Napište vzoreček pro výpočet délky křivky.
<hidden onHidden="**[+] Řešení**" onVisible="**[-] Řešení**">
<math>L = \int_a^b \sqrt{f'(t)^2 + g'(t)^2}\mathrm{d}t</math>
</hidden>
\\
  - Parametrizujte a vypočítejte obvod kružnice s poloměrem R > 0.
<hidden onHidden="**[+] Řešení**" onVisible="**[-] Řešení**">
FIXME <math><a,b> = <0,2\pi></math> a <math>F(t) = (f(t),g(t)), t \in <a,b> = (R.cos(t),R.sin(t)), t \in <0,2\pi></math>

<math>L = \int_0^{2\pi} \sqrt{f'(t)^2 + g'(t)^2}\mathrm{d}t = \int_0^{2\pi} \sqrt{(R.cos'(t))^2 + (R.sin'(t))^2}\mathrm{d}t = \int_0^{2\pi} \sqrt{(-Rsin(t))^2 + (R.cos(t))^2}\mathrm{d}t =  \int_0^{2\pi} \sqrt{R^2.(sin(t)^2 + cos(t)^2)}\mathrm{d}t = \int_0^{2\pi} R\mathrm{d}t = R[t]_0^{2\pi} = 2 \pi R</math>
</hidden>
==== Ostatni ====
  -(2) Za jakých podmínek existuje tečna funkce <math>f</math> v bodě <math>a</math>? Uveďte rovnici tečny funkce <math>f</math> v bodě <math>a</math>.
  -(2) Vyslovte postačující podmínku pro existenci řešení rovnice <math>f(x)=0</math> na intervalu <math>\langle a,b \rangle</math>, též známou jako metoda půlení intervalů.
  -(3) Rozhodněte, kolik řešení má rovnice <math>2x^3-3x^2-12x+21=0</math>.
  -(3) Uveďte Newtonův rekurentní vzorec pro hledání řešení rovnice <math>f(x)=0</math> s diferencovatelnou funkcí <math>f</math>.