DokuWiki

This is an old revision of the document!

BI-ZMA

1. Realne posloupnosti

1.

(2) Definujte Landauovo O. Tj. uveďte kdy podle definice pro dvě posloupnosti (an), (bn) platí an = O(bn).
(2) Pro jaká <math>a \in R</math> platí <math>n^a</math> = O(n!). Své tvrzení zdůvodněte.
(2) Zformulujte Heineho větu.
(4) Vypočtěte limitu <math>\lim_{x\to\infty} {(1+sin{\frac{1}{n^2}})}^n</math>.

2. Ciselne rady

1.

(2) Definujte součet číselné řady.
(2) Uveďte příklad konvergentní číselné řady se součtem rovným <math>1</math>.
(2) Zformulujte postačující podmínku pro divergenci číselné řady.
(4) Rozhodněte o konvergenci číselné řady <math>\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{2k^{10}-k^4}</math>

2.

(2 body) Definujte pojmy korvergentní a divergentní číselné řady.
(2 body) Uveďte příklad divergentní číselné řady a příklad konvergentní číselné řady.
(2 body) Zformulujte d'Alambertovo kritérium pro číselné řady.
(3 body) Rozhodněte o konvergenci číselné řady <math>\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k^5 \cdot 2^k + k^2}{3^k}</math>

3. Limita a spojitost funkce

1.

(2) Udejte, co musí dle definice funkce <math>f</math> splňovat, aby platilo <math>\lim_{x\rightarrow-1} f(x)=1</math>
(1) Udejte příklad funkce splňující požadavek v předchozím bodě.
(3) Vyslovte větu o limitě součtu, součinu a podílu funkce.
(4) Vypočtěte <math>\lim_{x\to\frac{\pi}{2}} \frac{1-\sin{x}}{(2x-\pi) \cdot \ln{\frac{2x}{\pi}}}</math>

2.

(2) Udejte co musí dle definice funkce <math>f</math> splňovat, aby platilo <math>\lim_{x\rightarrow-1} f(x)=1</math>
(1) Udejte příklad funkce splňující požadavek v předchozím bodě.
(3) Vyslovte větu o limitě součtu, součinu a podílu.
(4) Vypočtěte <math>\lim_{x\to\frac{\pi}{2}} \frac{1-\sin{x}}{(2x-\pi) \cdot \ln{\frac{2x}{\pi}}}</math>

4. Derivace

1.

(3) Definujte funkci <math>f</math> konvexní/konkávní v bodě a. Definujte funkci <math>f</math> konvexní/konkávní na intervalu <math>J</math>.
(2) Definujte vztah 2. derivace a konvexnosti/konkávnosti na intervalu <math>J</math>.
(2) Udejte příklad funkce konvexní na intervalu <math>(-\infty,1)</math> a konkávní na <math>(1,\infty)</math>.
(3) Zjistit, na jakém intervalu je zadaná funkce konvexní/konkávní.

2.

(3) Definujte derivaci funkce <math>f</math> v bodě <math>a \in D_f</math>.Dále zaveďte pojmy diferencovatelná funkce a funkce mající derivaci v bodě <math>a</math>.
(2) Definujte tečnu funkce <math>f</math> v bodě <math>a</math>.
(2) Udejte příklad funkce <math>f</math> mající v bodě <math>1</math> tečnu danou přímkou s rovnicí <math>y=1-x</math>
(4) Sestrojte tečny funkce <math>f(x)=\sqrt[3]{x^3+1}</math> v bodech <math>a=1</math> a <math>a=-1</math>.

3.

(2) Definujte derivaci funkce <math>f</math> v bodě <math>a \in \mathbb{R}</math>. Co musí funkce splňovat, abychom o ní mohli říct, že je diferencovatelná v bodě <math>a \in \mathbb{R}</math>
(2) Existuje funkce diferencovatelná v bodě 0 a současně nespojitá v bodě 0 ? Případně uveďte příklad takovéto funkce.
(1) Udejte příklad funkce spojité v bodě 1, která nemá derivaci v bodě 1.
(5) Nalezněte definiční obor <math>D_f</math> funkce <math>f(x)=\frac{1}{\sqrt{\frac{\pi}{4}-\arctan{x}}}</math> a funkci <math>f</math> na <math>D_f</math> zderivujte.

4.

(2)Uveďte, co musí funkce <math>f</math> dle definice splňovat, aby platilo <math>\lim_{x \to -\infty}{f(x)}=4</math>.
(3) Uveďte, za jakých podmínek existuje inverzní funkce k funkci <math>f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}</math> a uveďte definici tohoto pojmu.
(2) Vypočtěte derivaci funkce <math>f(x)=x^x</math>.
(3) Vypočtěte <math>\lim_{x\to 0}{(1-x^2)^{\frac{1}{\sin{x}}}}</math>. Nápověda: Využijte exponenciální funkci a logaritmus.

5. Taylorovy polynomy

6. Primitivni funkce

7. Riemannuv integral

1.

(2) Vyslovte větu o substituci v určitém integrálu.
(2) Vyslovte větu o vztahu určitého a neurčitého integrálu (Newtonovu formuli).

2.

(2) Definujte neurčitý integrál.
(2) Vyslovte větu o vztahu určitého a neurčitého integrálu (Newtonovu formuli).
(2) Vypočtěte určitý integrál z liché spojité funkce <math>f</math> na intervalu <math>←a,a>, a>0</math>
(4) Vypočtěte neurčitý integrál: <math>\int \frac{x^2+3}{x^2+4x+4} dx</math>

3.

(2 body) Definujte pojmy primitivní funkce k funkci <math>f</math> a neurčitý integrál funkce <math>f</math> na intervalu <math>(a,b)</math>.
(3 body) Zformulujte metodu integrace per partes pro určitý integrál.
(2 body) Uveďte příklad dvou různých funkcí primitivních k funkci <math>\tan{x}</math> na intervalu <math>(-\pi/2,\pi/2)</math>
(3 body) Vypočtěte obsah plochy rovinného útvaru ohraničeného grafy funkcí <math>f(x)=x \sin{x}, g(x)=-2x \sin{x},</math>, kde <math>D_f=D_g=\langle-\pi,\pi\rangle</math>.

Table of Contents

BI-ZMA

1. Realne posloupnosti

1.

2. Ciselne rady

1.

2.

3. Limita a spojitost funkce

1.

2.

4. Derivace

1.

2.

3.

4.

5. Taylorovy polynomy

6. Primitivni funkce

7. Riemannuv integral

1.

2.

3.