This is an old revision of the document!
~~DISCUSSION:off~~
Varianta A i B
f(x) = cxe^-x, určete c tak aby f(x) byla pravděpodobnostní fce, x(0,∞)
Řešení
Buď si říct, že po zintegrovani f(x) od -inf do inf to musí být 1. Integruje se per partes.
<math>
\int_{-\infty }^{\infty } f(x) dx = 1 =
\int_{0}^{\infty}cx e^{-x} dx =
c\int_{0}^{\infty} xe^{-x}dx =
c \cdot \left [ -xe^{-x}\right ]_0^\infty-\int_{0}^{\infty}-e^{-x}dx =
c \cdot \left [ -xe^{-x}-e^{-x}\right ]_0^\infty =
c \cdot \left [ -\frac{x}{e^{x}} - \frac{1}{e^{x}} \right ]_0^\infty =
= c \cdot \left [ (\lim_{x\to\infty} -\frac{x}{e^{x}} + \lim_{x\to\infty} -\frac{1}{e^{x}}) - (0 - 1) \right] =
</math>
pomocí L'Hospitalova pravidla (typ inf/inf) pokračuji:
<math>
c \cdot 1) = c = 1
</math>
Takže:
c=1
<math>
f(x)=xe^{-x}
</math>
NEBO:
Jednodušeji bez integrování se jedná o exponenciální rozdělení.
POZOR nejedná se o exp. rozdělení! Jenom jej využíváme při výpočtu! Pravděp. fce je po výpočtu <math>xe^{-x}</math> tj. po zderivování získáme hustotu <math>e^{-x}*(1-x)</math> což není Exp. rozdělení!
Hledáme takové c, aby <math>c*\int_{0}^{\infty}x e^{-x} dx= 1 </math> a pouze pro výpočet tohoto využijeme znalosti exp. rozdělení! Ve skutečnosti jde o funkci exponenciálního rozdělení X s parametrem 1 ve tvaru <math>f(x) = (-x* X(x))-1 </math>
obecně hustota Exp. rozděleni:
<math>
g(x)=\lambda e^{-x*\lambda }
</math>
Poznáte v tom exponenciální rozdělení s parametrem λ=1
<math>
g(x)=e^{-x}
</math>
Naše funkce je ale <math>f(x)=cxe^{-x}</math>, cože je vlastně c * střední hodnota exp. rozdělení (pro λ=1), z definice víme, že středního hodnota exp. rozdělení je <math>\frac{1}{\lambda}</math>
Takže vychazí rovnice:
<math>c*1=1</math>
<math>c=1</math>