This is an old revision of the document!
~~DISCUSSION:off~~
Varianta A i B
f(x) = cxe^-x, určete c tak aby f(x) byla pravděpodobnostní fce, x(0,∞)
Řešení
Buď si říct, že po zintegrovani f(x) od -inf do inf to musí být 1. Integruje se per partes.
<math>
\int_{-\infty }^{\infty } f(x) dx = 1 =
\int_{0}^{\infty}cx e^{-x} dx =
c\int_{0}^{\infty} xe^{-x}dx =
c \cdot \left [ -xe^{-x}\right ]_0^\infty-\int_{0}^{\infty}-e^{-x}dx =
c \cdot \left [ -xe^{-x}-e^{-x}\right ]_0^\infty =
c \cdot \left [ -\frac{x}{e^{x}} - \frac{1}{e^{x}} \right ]_0^\infty =
= c \cdot \left [ (\lim_{x\to\infty} -\frac{x}{e^{x}} + \lim_{x\to\infty} -\frac{1}{e^{x}}) - (0 - 1) \right] =
</math>
pomocí L'Hospitalova pravidla (typ inf/inf) pokračuji:
<math>
c \cdot 1) = c = 1
</math>
Takže:
c=1
<math>
f(x)=xe^{-x}
</math>