f(x) = cxe^-x, určete c tak aby f(x) byla pravděpodobnostní fce, x(0,∞)

Buď si říct, že po zintegrovani f(x) od -inf do inf to musí být 1. Integruje se per partes.
<math> \int_{-\infty }^{\infty } f(x) dx = 1 = \int_{0}^{\infty}cx e^{-x} dx = c\int_{0}^{\infty} xe^{-x}dx = c \cdot \left [ -xe^{-x}\right ]_0^\infty-\int_{0}^{\infty}-e^{-x}dx = c \cdot \left [ -xe^{-x}-e^{-x}\right ]_0^\infty = c \cdot \left [ -\frac{x}{e^{x}} - \frac{1}{e^{x}} \right ]_0^\infty =
= c \cdot \left [ (\lim_{x\to\infty} -\frac{x}{e^{x}} + \lim_{x\to\infty} -\frac{1}{e^{x}}) - (0 - 1) \right] = </math>
pomocí L'Hospitalova pravidla (typ inf/inf) pokračuji:
<math> c \cdot ¹⁾ = c = 1 </math>
Takže:
c=1
<math> f(x)=xe^{-x} </math>

Na 8 kluků ve tříde připadá jedna dívka, 60% dívek dlouhé vlasy, 3/24 kluků dlouhé vlasy (asi tak). Vidím před sebou dlouhé vlasy, jaká je pravděpodobnost, že to je dívka?

V. Bayess

P(M)= 8/9

P(Z)= 1/9

P(D|M)= 3/24 = 1/8

P(D|Z)= 6/10 = 3/5

<math> P(Z|D)= {P(Z)*P(D|Z)\over P(Z)*P(D|Z)+P(M)*P(D|M)} = { { {1\over 9} * {3\over 5} }\over { {\over 1 9} * {\over 3 5} + {\over 8 9} * {\over 1 8} } } = {3\over 8} </math> myslim :D -edit: ano, potvrzuji

Systém Windows používá 80 % uživatelů, systém Linux 40 % uživatelů. Dále 5 % uživatelů nepoužívá ani Windows ani Linux. Jaká je pravděpodobnost, že uživatel používá zároveň Windows a Linux?

P(W) = 0.8, P(L) = 0.4, P(Jiný) = 0.05

P(W ∪ L) = P(W) + P(L) - P(W ∩ L)

P(Jiný) = 1 - P(W ∪ L)

1 - P(W ∪ L) = 1 - (P(W) + P(L) - P(W ∩ L))

0.05 = 1 - (0.8 + 0.4 - P(W ∩ L))

0.05 = -0.2 + P(W ∩ L)

P(W ∩ L) = 0.25 ⇒ 25 %

Zadána tabulka P(X|Y) a P(Y=2)=0,55 P(Y=4)=0,45
a) E(X|Y=2) ?
b) Sdružená P a Marginální X
c) Jsou veliciny X a Y nezavislé ?

a) 1 * 4/9 + 2 * 5/9 = 14/9

b) sdružená

P(X=1) = 1051/1980

P(X=2) = 929/1980

c) Nezávislost:
Pokud by byly nezávislé pak by pro všechny kombinace mělo platit, že f(xi,yi) = f(xi)*f(yi).
f(x=1,y=2) = 11/45 ≠ 1051/3600 = (1051/1980) * (11/20) = f(x=1) * f(y=2)
Dále není třeba řešit - toto už je důkazem, že nejsou nezávislé.

100 semínek, pravděpodobnost vyklíčení 80%
a)Ex, varX
b)CLV 99% budou stačit květináče

a)
<math>n=100
p=0.8\\</math>
Rozdělení jednoho semínka je Bernulliho rozdělení:
<math> X_{i}\sim \left ( \mu \right , \sigma ^2)
EX_{i}= \mu=p
varX_{i}= \mu * \left ( 1 - \mu \right ) =p(1-p)
</math>
Počet vyklíčených semínek má rozdělení:
<math> \sum X_{i}\sim \left ( n*\mu \right , n*\sigma ^2)
E \sum X_{i}= n* \mu=n*p = 100*0,8=80
var \sum X_{i}= n* \mu * \left ( 1 - \mu \right )=n*p(1-p) = 100 * 0,8 * 0,2 = 16
</math>

b)
<math> P\left ( \sum X_{i} ⇐ n \right )=0.99
F\left ( n \right ) = 0.99
\Phi (\frac{n-\mu }{\sigma }) = 0.99
\Phi (\frac{n-80 }{4 }) = 0.99
\Phi (2.33) = 0.99
\frac{n-80 }{4 } = 2.33
n= 89.32
</math>
Musim si připravit aspoň 90 květináčů.

Když je ∂ > 2,8, blíží se bouřka. Zadány dva intervaly A 99% (2,757; 5,8) a B 98% (2,875; 5,575)
Ho:sigma≤2,8 Ha:sigma>2,8
a) blíží se bouřka?
b) který interval a proč jste použili?

Předpokládám, že chtěli 99% jistotu
pro Ha je interval (číslo, nekonečno)
chci jednostranný 99% (1% vlevo, vpravo do nekonečna) a pro obousměrné to je 1% na každé straně (tedy 98%)
Volim B interval a použiji z něj číslo vlevo
Výsledek (2.875 , nekonečno)
2.8 do něj nepatří, takže zamítáme Ho