Mezi stoletými občany je 80% žen. Mužů se rodí 52%. Kolikrát měla žena narozená před 100 lety větší pravděpodobnost než muž, že se dožije alespoň 100 let?

• P(Z|100) = 0.8
• P(M|100) = 0.2
• P(Z) = 0.48
• P(M) = 0.52

P(100|Z) / P(100|M) = …. = 13/3 = 4 + 1/3 ⇒ Žena narozená v této době měla 4.333 krát větší pravděpodobnost, že se dožije 100 let.

V jisté zemi má manželský pár tolik potomků, dokud se jim nenarodí syn, potom další potomky nemají. Pravděpodobnost narození chlapce a dívky je stejná 50%. Jaký je poměr v jedné generaci? Odpověď zdůvodněte.

každá rodina bude mít právě jednoho chlapce.

Počet dívek:

P(0) = 1/2 (mají jen jedno dítě - chlapce)

P(1) = 1/4 (mají jednu dívku a jednoho chlapce - 1/2 * 1/2)

P(2) = 1/8

P(3) = 1/16

…

takže pro počet dívek máme řadu:

0*1/2 + 1*1/4 + 2*1/8 + 3*1/16 + …

to můžem rozepsat jako součet řad:

1/4 + 1/8 + 1/16 + ...    = 1/2
      1/8 + 1/16 + ...    = 1/4
            1/16 + ...    = 1/8
                   ...      ...

tyto jednotlivé řady opet sečteme a dostáváme řadu 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 … a součet této řady je 1.

Takže poměr chlapců a dívek bude 1:1

Pravděpodobnost, že vlk uloví zdravou kořist je 25% a nemocnou 85%. 80% kořistí je zdravých. Jaká je pravděpodobnost, že vlk uloví kořist? Jaká je pravděpodobnost, že kořist, kterou vlk ulovil, byla nemocná?

P(Uloví) = 37%; P(Nemocná | Uloví) = 17/37

Riešil by som to takto:

P(Zdravý)=80%, P(Uloví | Zdravý) = 25%, P(Uloví | Nemocný) = 85%
P(Uloví)=P(Uloví | Zdravý)*P(Zdravý) + P (Uloví|Nemocný)*P(Nemocný) = 37%
P(Nemocný|Uloví) = P(Uloví|Nemocný)*P(Nemocný)/P(U)

Fotbalový míč se skládá z pětiúhelníků a šestiúhelníků. Pětiúhelníky jsou očíslovány 1,2…12. Šestiúhelníky 13,14..32. Pravděpodobnost, že míč dopadne pětiúhelníkem nahoru je 40% a šestiúhelníkem 60%. Jaká je pravděpodobnost, že po dvou hodech míčem dostaneme součet 23.

P(součet = 23) = 2,56%

edit: me to teda vychazi takhle:

Souhlas, taky mi to vyšlo 2,22%:

Nevytáhne-li se letadlu podvozek, kontrolka značící chybu nic nezahlásí s pravděpodobností 1 promile, s pravděpodobností 0.005 však signalizuje závadu, i když vše proběhlo v pořádku. Podvozek se vytáhne v pořádku s pravděpodobností 0.997. Jaká je pravděpodobnost, že se podvozek nevytáhl, když kontrolka hlásí OK? Zapište ve zlomkovém tvaru.

<math>\frac{\frac{1}{1000}\cdot \frac{3}{1000}}{\frac{1}{1000}\cdot \frac{3}{1000} + \frac{995}{1000}\cdot \frac{997}{1000}}</math>

Předpokládejme, že v prezidentských volbách má kandidát A 30% šanci vyhrát a kandidát B 70% šanci.

1. Vyplatí se vsadit si na kandidáta A korunu, pokud je kurz takový, že buď prohrajete korunu, nebo vyhrajete 1.2 koruny? (v sazkarskem slangu kurz 2.2)
2. Kdybyste si v milionech na sobě nezávislých případech vsadili korunu se stejným kurzem a se stejnou pravděpodobností úspěchu 60 %, kolik byste vyhráli nebo prohráli? snad opraveno na doslovné zadání, řešení se nemění

1. 0.3 * 1.2 + 0.7 * (-1) , Pokud je vysledek kladny tak se to vyplati a pokud zaporne tak se to nevyplati . Tady to vyjde zaporne proto se to nevyplati
2. Uplne nechapu zadani ale typuju ze kurz je stejnej ale sance ze Vyhraje A je 60 % a B 40 % . Tudiz A vyhraje 600 000 x a B vyhraje 400 000x . Tudiz bych to pocital jako 600000 * 1.2 + 400000*(-1)

f(x) = cxe^-x, určete c tak aby f(x) byla pravděpodobnostní fce, x(0,∞)

Buď si říct, že po zintegrovani f(x) od -inf do inf to musí být 1. Integruje se per partes.
<math> \int_{-\infty }^{\infty } f(x) dx = 1 = \int_{0}^{\infty}cx e^{-x} dx = c\int_{0}^{\infty} xe^{-x}dx = c \cdot \left [ -xe^{-x}\right ]_0^\infty-\int_{0}^{\infty}-e^{-x}dx = c \cdot \left [ -xe^{-x}-e^{-x}\right ]_0^\infty = c \cdot \left [ -\frac{x}{e^{x}} - \frac{1}{e^{x}} \right ]_0^\infty =
= c \cdot \left [ (\lim_{x\to\infty} -\frac{x}{e^{x}} + \lim_{x\to\infty} -\frac{1}{e^{x}}) - (0 - 1) \right] = </math>
pomocí L'Hospitalova pravidla (typ inf/inf) pokračuji:
<math> c \cdot ¹⁾ = c = 1 </math>
Takže:
c=1
<math> f(x)=xe^{-x} </math>

Na 8 kluků ve tříde připadá jedna dívka, 60% dívek dlouhé vlasy, 3/24 kluků dlouhé vlasy (asi tak). Vidím před sebou dlouhé vlasy, jaká je pravděpodobnost, že to je dívka?

V. Bayess

P(M)= 8/9

P(Z)= 1/9

P(D|M)= 3/24 = 1/8

P(D|Z)= 6/10 = 3/5

<math> P(Z|D)= {P(Z)*P(D|Z)\over P(Z)*P(D|Z)+P(M)*P(D|M)} = { { {1\over 9} * {3\over 5} }\over { {\over 1 9} * {\over 3 5} + {\over 8 9} * {\over 1 8} } } = {3\over 8} </math> myslim :D -edit: ano, potvrzuji

Systém Windows používá 80 % uživatelů, systém Linux 40 % uživatelů. Dále 5 % uživatelů nepoužívá ani Windows ani Linux. Jaká je pravděpodobnost, že uživatel používá zároveň Windows a Linux?

P(W) = 0.8, P(L) = 0.4, P(Jiný) = 0.05

P(W ∪ L) = P(W) + P(L) - P(W ∩ L)

P(Jiný) = 1 - P(W ∪ L)

1 - P(W ∪ L) = 1 - (P(W) + P(L) - P(W ∩ L))

0.05 = 1 - (0.8 + 0.4 - P(W ∩ L))

0.05 = -0.2 + P(W ∩ L)

P(W ∩ L) = 0.25 ⇒ 25 %

(10%)

V krabici máme 10 míčků modrých a 5 červených. Vytáhli jsme postupně 4 míčky, aniž bychom je vraceli zpět. Víme, že třetí a čtvrtý míček byl červený. O druhém míčku nám nebyla sdělena žádná informace. Jaká je pravděpodobnost, že první vytažený míček byl modrý?

Třetí a čtvrtý červený míček můžeme “rezervovat” předem, takže nám zůstane 10 modrých a 3 červené. Pravěpodobnost, že vytáhneme jeden z 10 modrých z celkového počtu 13 míčků je 10/13.

Šance že semínko vyklíčí je 90%. Máme jich 100. Najděte E(X), var(X) a počet květináčů, které si musíme připravit, aby nám s 95% P stačily. (už to tu někde bylo)

<math>E(X) = p*n = 0.9*100 = 90</math>
<math>Var(X) = p*n*(1-p) = 9</math>

Najít P(X⇐n)=0.95, kde n je počet květináčů.

<math>P(Z⇐\frac{n-90}{3}) = 0,95</math>

potřebujeme tedy pod gaussovkou 95% plochu: někde mezi 1.64 a 1.65

<math>\frac{n-90}{3} = 1.64</math> ⇒ n=94,9 ⇒ potřebujeme 95 květináčů

Máme definovanou hustotu pravděpodobnosti X, <math>f_{X}(x) = {1\over \sqrt{2\pi}} e^{-\left({x^2\over2}\right )}</math>, x <math>\in</math> R. Jaká je hustota pravděpodobnosti <math>Y = a^2X-2</math>, a>0?

Je videt ze je to definice hustotu pro normalni rozdelni a samozrejmne vime <math>\mu = 0</math> a <math>\sigma^2 = 1</math>

1. Ted muzeme vypocitat <math>\mu_{Y} = a^2*\mu_{X}-2 = -2</math>
2. A muzeme vypocitat <math>\sigma_{Y}^2 = ²⁾ dx = \frac{3}{2} \cdot \int_{-1}^{1} (x^3+(1+p)x^4)) dx = \frac{3}{2} \cdot \left [\frac{x^4}{4}+\frac{(1+p)x^5}{5} \right ]_{-1}^1 =
   

= \frac{3}{2} \cdot \left [(\frac{1}{4}+\frac{(1+p)}{5}) - (\frac{1}{4}-\frac{(1+p)}{5}) \right ] = \frac{3}{2} \cdot 2 \cdot \frac{(1+p)}{5} = \frac{3 \cdot (1+p)}{5} </math>
<math> EX^2 = \int_{-1}^{1} x^2 \cdot (\frac{3}{2}(x^2+(1+p)x^3)) dx = \frac{3}{2} \cdot \int_{-1}^{1} (x^4+(1+p)x^5)) dx = \frac{3}{2} \cdot \left [\frac{x^5}{5}+\frac{(1+p)x^6}{6} \right ]_{-1}^1 =
= \frac{3}{2} \cdot \left [(\frac{1}{5}+\frac{(1+p)}{6}) - (-\frac{1}{5}+\frac{(1+p)}{6}) \right ] = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{3}{5} </math>
<math> m_1 = \frac{3 \cdot (1+p)}{5} ; m_2 = \frac{3}{5}
m_1 = \frac{3}{5} + \frac{3}{5} \cdot p
m_1 - \frac{3}{5} = \frac{3}{5} \cdot p
p = \frac{5}{3} m_1 - 1 </math>

f(x)=ax na intervalu (0,1), jinde 0.

Najděte parametr a, distribuční funkci F(x), P(<math>X\in\left(\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right)</math>).

<math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x) = \int_{0}^{1} a.x_{dx} = a.\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = \frac{a}{2}</math>
<math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x) = 1 \Rightarrow \frac{a}{2} = 1 \Rightarrow a = 2</math>

<math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x) = \int_{0}^{1} 2x = x^2</math> (platí pouze pro (0;1), bylo potřeba napsat jak to vypadá jinde)

c=1/3, d=2/3 dosadit a vypočítat ?. Ano, buď integrovat f(x) v mezích, nebo dosadit do F(x).

Když je ∂ > 2,8, blíží se bouřka. Zadány dva intervaly A 99% (2,757; 5,8) a B 98% (2,875; 5,575)
Ho:sigma≤2,8 Ha:sigma>2,8
a) blíží se bouřka?
b) který interval a proč jste použili?

Předpokládám, že chtěli 99% jistotu
pro Ha je interval (číslo, nekonečno)
chci jednostranný 99% (1% vlevo, vpravo do nekonečna) a pro obousměrné to je 1% na každé straně (tedy 98%)
Volim B interval a použiji z něj číslo vlevo
Výsledek (2.875 , nekonečno)
2.8 do něj nepatří, takže zamítáme Ho

Blíží se bouřka, pokud přijde vítr rychlejší než 2.9 m/s. Máme dva intervaly A (2.7; 5.5) s pravděpodobností 98% a B (2.8; 5.3). Hypotéza H0 že bude bouřka proti H1, že nebude.

Nemůžeme nic zamítnout, protože tam leží 2.9 v obou intervalech. Pouzijeme interval A, abychom se dopustili chyby 1%, ale stejne nam z nej nic nevyleze.