AuditWiki

You've loaded an old revision of the document! If you save it, you will create a new version with this data.

===== BI-ZMA =====

==== 1. Realne posloupnosti ====
== 1. ==
  -(2) Definujte Landauovo O. Tj. uveďte kdy podle definice pro dvě posloupnosti (an), (bn) platí an = O(bn).
  -(2) Pro jaká <math>a \in R</math> platí <math>n^a</math> = O(n!). Své tvrzení zdůvodněte.
  -(2) Zformulujte Heineho větu.
  -(4) Vypočtěte limitu <math>\lim_{x\to\infty} {(1+sin{\frac{1}{n^2}})}^n</math>.
  
==== 2. Ciselne rady ====
== 1. ==
  -(2) Definujte součet číselné řady.
  -(2) Uveďte příklad konvergentní číselné řady se součtem rovným <math>1</math>.
  -(2) Zformulujte postačující podmínku pro divergenci číselné řady.
  -(4) Rozhodněte o konvergenci číselné řady <math>\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{2k^{10}-k^4}</math>
== 2. ==
  - (2 body) Definujte pojmy korvergentní a divergentní číselné řady.
  - (2 body) Uveďte příklad divergentní číselné řady a příklad konvergentní číselné řady.
  - (2 body) Zformulujte d'Alambertovo kritérium pro číselné řady.
  - (3 body) Rozhodněte o konvergenci číselné řady <math>\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k^5 \cdot 2^k + k^2}{3^k}</math>
==== 3. Limita a spojitost funkce ====
== 1. ==
  -(2) Udejte, co musí dle definice funkce <math>f</math> splňovat, aby platilo <math>\lim_{x\rightarrow-1} f(x)=1</math>
  -(1) Udejte příklad funkce splňující požadavek v předchozím bodě.
  -(3) Vyslovte větu o limitě součtu, součinu a podílu funkce.
  -(4) Vypočtěte <math>\lim_{x\to\frac{\pi}{2}} \frac{1-\sin{x}}{(2x-\pi) \cdot \ln{\frac{2x}{\pi}}}</math>
== 2. ==
  -(2) Udejte co musí dle definice funkce <math>f</math> splňovat, aby platilo <math>\lim_{x\rightarrow-1} f(x)=1</math>
  -(1) Udejte příklad funkce splňující požadavek v předchozím bodě.
  -(3) Vyslovte větu o limitě součtu, součinu a podílu.
  -(4) Vypočtěte <math>\lim_{x\to\frac{\pi}{2}} \frac{1-\sin{x}}{(2x-\pi) \cdot \ln{\frac{2x}{\pi}}}</math>

==== 4. Derivace ====
== 1. ==
  -(3) Definujte funkci <math>f</math> konvexní/konkávní v bodě a. Definujte funkci <math>f</math> konvexní/konkávní na intervalu <math>J</math>.
  -(2) Definujte vztah 2. derivace a konvexnosti/konkávnosti na intervalu <math>J</math>.
  -(2) Udejte příklad funkce konvexní na intervalu <math>(-\infty,1)</math> a konkávní na <math>(1,\infty)</math>.
  -(3) Zjistit, na jakém intervalu je zadaná funkce konvexní/konkávní.
== 2. ==
  -(3) Definujte derivaci funkce <math>f</math> v bodě <math>a \in D_f</math>.Dále zaveďte pojmy diferencovatelná funkce a funkce mající derivaci v bodě <math>a</math>.
  -(2) Definujte tečnu funkce <math>f</math> v bodě <math>a</math>.
  -(2) Udejte příklad funkce <math>f</math> mající v bodě <math>1</math> tečnu danou přímkou s rovnicí <math>y=1-x</math>
  -(4) Sestrojte tečny funkce <math>f(x)=\sqrt[3]{x^3+1}</math> v bodech <math>a=1</math> a <math>a=-1</math>.
== 3. ==
  - (2) Definujte derivaci funkce <math>f</math> v bodě <math>a \in \mathbb{R}</math>. Co musí funkce splňovat, abychom o ní mohli říct, že je diferencovatelná v bodě <math>a \in \mathbb{R}</math>       
  - (2) Existuje funkce diferencovatelná v bodě 0 a současně nespojitá v bodě 0 ? Případně uveďte příklad takovéto funkce.
  - (1) Udejte příklad funkce spojité v bodě 1, která nemá derivaci v bodě 1.
  - (5) Nalezněte definiční obor <math>D_f</math> funkce <math>f(x)=\frac{1}{\sqrt{\frac{\pi}{4}-\arctan{x}}}</math> a funkci <math>f</math> na <math>D_f</math> zderivujte.
  
== 4. ==
  - (2)Uveďte, co musí funkce <math>f</math> dle definice splňovat, aby platilo <math>\lim_{x \to -\infty}{f(x)}=4</math>.
  - (3) Uveďte, za jakých podmínek existuje inverzní funkce k funkci <math>f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}</math> a uveďte definici tohoto pojmu.
  - (2) Vypočtěte derivaci funkce <math>f(x)=x^x</math>.
	- (3) Vypočtěte <math>\lim_{x\to 0}{(1-x^2)^{\frac{1}{\sin{x}}}}</math>. Nápověda: Využijte exponenciální funkci a logaritmus.
==== 5. Taylorovy polynomy ====
==== 6. Primitivni funkce ====

==== 7. Riemannuv integral ====
== 1. ==
  -(2) Vyslovte větu o substituci v určitém integrálu.
  -(2) Vyslovte větu o vztahu určitého a neurčitého integrálu (Newtonovu formuli).
== 2. ==
  -(2) Definujte neurčitý integrál.
  -(2) Vyslovte větu o vztahu určitého a neurčitého integrálu (Newtonovu formuli).
  -(2) Vypočtěte určitý integrál z liché spojité funkce <math>f</math> na intervalu <math><-a,a>, a>0</math>
  -(4) Vypočtěte neurčitý integrál: <math>\int \frac{x^2+3}{x^2+4x+4} dx</math>
== 3. ==
  - (2 body) Definujte pojmy primitivní funkce k funkci <math>f</math> a neurčitý integrál funkce <math>f</math> na intervalu <math>(a,b)</math>.
  - (3 body) Zformulujte metodu integrace per partes pro určitý integrál.
	- (2 body) Uveďte příklad dvou různých funkcí primitivních k funkci <math>\tan{x}</math> na intervalu <math>(-\pi/2,\pi/2)</math>
	- (3 body) Vypočtěte obsah plochy rovinného útvaru ohraničeného grafy funkcí <math>f(x)=x \sin{x}, g(x)=-2x \sin{x},</math>, kde <math>D_f=D_g=\langle-\pi,\pi\rangle</math>.

==== Ostatni ====
  -(2) Za jakých podmínek existuje tečna funkce <math>f</math> v bodě <math>a</math>? Uveďte rovnici tečny funkce <math>f</math> v bodě <math>a</math>.
  -(2) Vyslovte postačující podmínku pro existenci řešení rovnice <math>f(x)=0</math> na intervalu <math>\langle a,b \rangle</math>, též známou jako metoda půlení intervalů.
  -(3) Rozhodněte, kolik řešení má rovnice <math>2x^3-3x^2-12x+21=0</math>.
  -(3) Uveďte Newtonův rekurentní vzorec pro hledání řešení rovnice <math>f(x)=0</math> s diferencovatelnou funkcí <math>f</math>.

Edit summary

Note: By editing this page you agree to license your content under the following license: CC Attribution-Share Alike 4.0 International