AuditWiki

You've loaded an old revision of the document! If you save it, you will create a new version with this data.

====== PRAVDEPODOBNOST ======

===== Příklad 1 ===== 
Šance na narození syna je 3/4, lidé v divné zemi mají potomky tak dlouho dokud se jim nenarodí první syn. Jaký je poměr chlapců a děvčat v populaci?

==== Řešení ====
{{:škola:předměty:bi-pst:populace.jpg?200|}}

Pozn.: Řešení od Hrabákové.

===== Příklad 2 =====
Mezi stoletými občany je 80% žen. Mužů se rodí 52%. Kolikrát měla žena narozená před 100 lety větší pravděpodobnost než muž, že se dožije alespoň 100 let?

==== Řešení ====

* P(Z|100) = 0.8
  * P(M|100) = 0.2
  * P(Z) = 0.48
  * P(M) = 0.52

P(100|Z) / P(100|M) = .... = 13/3 = 4 + 1/3 => Žena narozená v této době měla 4.333 krát větší pravděpodobnost, že se dožije 100 let.

===== Příklad 1 =====
V jisté zemi má manželský pár tolik potomků, dokud se jim nenarodí syn, potom další potomky nemají. Pravděpodobnost narození chlapce a dívky je stejná 50%. Jaký je poměr v jedné generaci? Odpověď zdůvodněte.

==== Řešení ====

každá rodina bude mít právě jednoho chlapce.

Počet dívek:

P(0) = 1/2  (mají jen jedno dítě - chlapce)

P(1) = 1/4  (mají jednu dívku a jednoho chlapce - 1/2 * 1/2)

P(2) = 1/8

P(3) = 1/16

...

takže pro počet dívek máme řadu:

0*1/2 + 1*1/4 + 2*1/8 + 3*1/16 + ...

to můžem rozepsat jako součet řad:

1/4 + 1/8 + 1/16 + ...    = 1/2
        1/8 + 1/16 + ...    = 1/4
              1/16 + ...    = 1/8
                     ...      ...
  
tyto jednotlivé řady opet sečteme a dostáváme řadu 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 ... a součet této řady je 1.

Takže poměr chlapců a dívek bude 1:1

===== Úloha 2 =====
Pravděpodobnost, že vlk uloví zdravou kořist je 25% a nemocnou 85%. 80% kořistí je zdravých. Jaká je pravděpodobnost, že vlk uloví kořist? Jaká je pravděpodobnost, že kořist, kterou vlk ulovil, byla nemocná?

==== Řešení ====
P(Uloví) = 37%; P(Nemocná | Uloví) = 17/37

===== Úloha 1 =====
Fotbalový míč se skládá z pětiúhelníků a šestiúhelníků. Pětiúhelníky jsou očíslovány 1,2...12. Šestiúhelníky 13,14..32. Pravděpodobnost, že míč dopadne pětiúhelníkem nahoru je 40% a šestiúhelníkem 60%. Jaká je pravděpodobnost, že po dvou hodech míčem dostaneme součet 23.

==== Řešení ====
P(součet = 23) = 2,56%

edit: me to teda vychazi takhle:
{{:škola:předměty:bi-pst:10917341_10203448522878835_4999004521469685285_n.jpg?200|}}

Souhlas, taky mi to vyšlo 2,22%:

===== Příklad 1 =====
Nevytáhne-li se letadlu podvozek, kontrolka značící chybu nic nezahlásí s pravděpodobností 1 promile, s pravděpodobností 0.005 však signalizuje závadu, i když vše proběhlo v pořádku. Podvozek se vytáhne v pořádku s pravděpodobností 0.997. Jaká je pravděpodobnost, že se podvozek nevytáhl, když kontrolka hlásí OK? Zapište ve zlomkovém tvaru.

==== Řešení ====

===== Příklad 2 =====
FIXME

Předpokládejme, že v prezidentských volbách má kandidát A 30% šanci vyhrát a kandidát B 70% šanci.

- Vyplatí se vsadit si na kandidáta A korunu, pokud je kurz takový, že buď prohrajete korunu, nebo vyhrajete 1.2 koruny? //(v sazkarskem slangu kurz 2.2)//
  - Kdybyste si v milionech na sobě nezávislých případech vsadili korunu se stejným kurzem a se stejnou pravděpodobností úspěchu 60 %, kolik byste vyhráli nebo prohráli? //snad opraveno na doslovné zadání, řešení se nemění//

==== Řešení ====

- 0.3 * 1.2 + 0.7 * (-1) , Pokud je vysledek kladny tak se to vyplati a pokud zaporne tak se to nevyplati . Tady to vyjde zaporne proto se to nevyplati
  - Uplne nechapu zadani ale typuju ze kurz je stejnej ale sance ze Vyhraje A je 60 % a B 40 % . Tudiz A vyhraje 600 000 x a B vyhraje 400 000x . Tudiz bych to pocital jako 600000 * 1.2 + 400000*(-1)

===== Varianta A i B =====
f(x) = **c**xe^-x, určete **c** tak aby f(x) byla pravděpodobnostní fce, x(0,∞)

==== Řešení ====
Buď si říct, že po zintegrovani f(x) od -inf do inf to musí být 1. Integruje se per partes.\\
<math>
\int_{-\infty }^{\infty } f(x) dx = 1 =
\int_{0}^{\infty}cx e^{-x} dx = 
c\int_{0}^{\infty} xe^{-x}dx = 
c \cdot \left [  -xe^{-x}\right ]_0^\infty-\int_{0}^{\infty}-e^{-x}dx =
c \cdot \left [  -xe^{-x}-e^{-x}\right ]_0^\infty = 
c \cdot \left [ -\frac{x}{e^{x}} - \frac{1}{e^{x}} \right ]_0^\infty  = \\
= c \cdot \left [ (\lim_{x\to\infty} -\frac{x}{e^{x}} + \lim_{x\to\infty} -\frac{1}{e^{x}}) - (0 - 1) \right] = 
</math> \\ 
pomocí L'Hospitalova pravidla (typ inf/inf) pokračuji: \\
<math>
c \cdot ((0+0)-(0-1)) = c = 1
</math>
\\
Takže:\\
c=1\\
<math>
f(x)=xe^{-x}
</math>
\\
\\

===== Varianta A =====
Na 8 kluků ve tříde připadá jedna dívka, 60% dívek dlouhé vlasy, 3/24 kluků dlouhé vlasy (asi tak). Vidím před sebou dlouhé vlasy, jaká je pravděpodobnost, že to je dívka?
==== Řešení ====
V. Bayess

P(M)= 8/9

P(Z)= 1/9

P(D|M)= 3/24 = 1/8

P(D|Z)= 6/10 = 3/5

<math> P(Z|D)= {P(Z)*P(D|Z)\over P(Z)*P(D|Z)+P(M)*P(D|M)} = { { {1\over 9} * {3\over 5} }\over { {\over 1 9} * {\over 3 5} + {\over 8 9} * {\over 1 8} } } = {3\over 8} </math> myslim :D -edit: ano, potvrzuji

===== Příklad 1 =====
Systém Windows používá 80 % uživatelů, systém Linux 40 % uživatelů. Dále 5 % uživatelů nepoužívá ani Windows ani Linux. Jaká je pravděpodobnost, že uživatel používá zároveň Windows a Linux?

==== Řešení ====
P(W) = 0.8, P(L) = 0.4, P(Jiný) = 0.05

P(W ∪ L) = P(W) + P(L) - P(W ∩ L)

P(Jiný) = 1 - P(W ∪ L)

1 - P(W ∪ L) = 1 - (P(W) + P(L) - P(W ∩ L))

0.05 = 1 - (0.8 + 0.4 - P(W ∩ L))

0.05 = -0.2 + P(W ∩ L)

P(W ∩ L) = 0.25 => 25 %

===== Příklad 1 ===== 
(10%)

V krabici máme 10 míčků modrých a 5 červených. Vytáhli jsme postupně 4 míčky, aniž bychom je vraceli zpět. Víme, že třetí a čtvrtý míček byl červený. O druhém míčku nám nebyla sdělena žádná informace. Jaká je pravděpodobnost, že první vytažený míček byl modrý?
==== Řešení ====

Třetí a čtvrtý červený míček můžeme "rezervovat" předem, takže nám zůstane 10 modrých a 3 červené.
Pravěpodobnost, že vytáhneme jeden z 10 modrých z celkového počtu 13 míčků je 10/13.

===== Příklad 5 =====
Šance že semínko vyklíčí je 90%. Máme jich 100. 
Najděte E(X), var(X) a počet květináčů, které si musíme připravit, aby nám s 95% P stačily. (už to tu někde bylo)

==== reseni ====
== rozptyl, střední hodnota ==
<math>E(X) = p*n = 0.9*100 = 90</math>\\
<math>Var(X) = p*n*(1-p) = 9</math>

== počet květináčů  ==
Najít P(X<=n)=0.95, kde n je počet květináčů.

potřebujeme tedy pod gaussovkou 95% plochu: někde mezi 1.64 a 1.65

<math>\frac{n-90}{3} = 1.64</math> => n=94,9 => potřebujeme 95 květináčů

====== SDRUZENA a MARGINALNI a EX a F(X) ======

===== Příklad 3 =====
Máme definovanou hustotu pravděpodobnosti X, <math>f_{X}(x) = {1\over \sqrt{2\pi}} e^{-\left({x^2\over2}\right )}</math>, x <math>\in</math> R. Jaká je hustota pravděpodobnosti <math>Y = a^2X-2</math>, a>0?

==== Řešení ====

Je videt ze je to definice hustotu pro normalni rozdelni a samozrejmne vime <math>\mu = 0</math>  a <math>\sigma^2 = 1</math>

- Ted muzeme vypocitat <math>\mu_{Y} = a^2*\mu_{X}-2 = -2</math>
  - A muzeme vypocitat <math>\sigma_{Y}^2 = ((a^2)^2)*\sigma_{X}^2 = a^4</math> 
  - Dosadime to definice normalniho rozdeleni <math>f_{Y}(y) = {1\over \sqrt{2\pi}*a^2} * e^{-\left({(x+2)^2\over2*a^4}\right )}</math>

===== Varianta A =====
^ X\Y ^|
^ Y ^ X ^ 1 ^ 2 ^
^ 2 ^| 4/9 | 5/9 |
^ 4 ^| 7/11 | 4/11 |

Zadána tabulka P(X|Y) a P(Y=2)=0,55 P(Y=4)=0,45\\
a) E(X|Y=2) ?\\
b) Sdružená P a Marginální X\\
c) Jsou veliciny X a Y nezavislé ?\\

==== Řešení ===

a)  1 * 4/9 + 2 * 5/9 = 14/9

b)
sdružená
^ X & Y ^| 
^ Y ^ X ^ 1 ^ 2 ^
^ 2 ^| 11/45 | 11/36 |
^ 4 ^| 63/220 | 9/55 |

P(X=1) = 1051/1980

P(X=2) = 929/1980

c) Nezávislost:\\
Pokud by byly nezávislé pak by pro všechny kombinace mělo platit, že f(xi,yi) = f(xi)*f(yi).\\
f(x=1,y=2) = 11/45 ≠ 1051/3600 = (1051/1980) * (11/20) = f(x=1) * f(y=2)\\
Dále není třeba řešit - toto už je důkazem, že nejsou nezávislé.

===== Příklad 2 =====
Momentová metoda. Zadané f(x) a určit parametr odhadu. 
f(x) = 3/2(x^2+(1+p)x^3) na < -1;1 > (jinde 0).

==== Řešení ====
Postup: Podobné jako ve cvičebnici (myslím k cvičení 9) poslední příklad.

<math>
f(x) = \frac{3}{2}(x^2+(1+p)x^3); <-1,1>
</math>
\\
\\
V následujícím řešení nejspíš není nutné počítat parametr m2, jelikož parametr p lze vyjádřit jen pomocí m1 (já měl ale oba a měl jsem 100 %, tak sem radši píšu oba):
\\
\\
<math>
EX = \sum_{i=1}^{n} X_i = m_1
\\
EX^2 = \sum_{i=1}^{n} X_i^2 = m_2
\\
EX = \int_{-1}^{1} x \cdot (\frac{3}{2}(x^2+(1+p)x^3)) dx = \frac{3}{2} \cdot \int_{-1}^{1} (x^3+(1+p)x^4)) dx = \frac{3}{2} \cdot \left [\frac{x^4}{4}+\frac{(1+p)x^5}{5} \right ]_{-1}^1 = \\
= \frac{3}{2} \cdot \left [(\frac{1}{4}+\frac{(1+p)}{5}) - (\frac{1}{4}-\frac{(1+p)}{5}) \right ] = \frac{3}{2} \cdot 2 \cdot \frac{(1+p)}{5} = \frac{3 \cdot (1+p)}{5} 
</math>
\\
<math>
EX^2 = \int_{-1}^{1} x^2 \cdot (\frac{3}{2}(x^2+(1+p)x^3)) dx = \frac{3}{2} \cdot \int_{-1}^{1} (x^4+(1+p)x^5)) dx = \frac{3}{2} \cdot \left [\frac{x^5}{5}+\frac{(1+p)x^6}{6} \right ]_{-1}^1 = \\
= \frac{3}{2} \cdot \left [(\frac{1}{5}+\frac{(1+p)}{6}) - (-\frac{1}{5}+\frac{(1+p)}{6}) \right ] = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{3}{5} 
</math>
\\
<math>
m_1 = \frac{3 \cdot (1+p)}{5} 
;
m_2 = \frac{3}{5}
\\
m_1 = \frac{3}{5} + \frac{3}{5} \cdot p 
\\
m_1 - \frac{3}{5} = \frac{3}{5} \cdot p
\\
p = \frac{5}{3} m_1 - 1
</math>

===== Příklad 5 =====
f(x)=ax na intervalu (0,1), jinde 0.

Najděte parametr a, distribuční funkci F(x), P(<math>X\in\left(\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right)</math>).

==== Řešení ====
== parametr a ==
<math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x) = \int_{0}^{1} a.x_{dx} = a.\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = \frac{a}{2}</math>\\
<math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x) = 1 \Rightarrow \frac{a}{2} = 1 \Rightarrow a = 2</math>

== distribuční funkce == 
<math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x) = \int_{0}^{1} 2x = x^2</math>
(platí pouze pro (0;1), bylo potřeba napsat jak to vypadá jinde)

== Obsah v intervalech ==
c=1/3, d=2/3 dosadit a vypočítat ?. Ano, buď integrovat f(x) v mezích, nebo dosadit do F(x).

====== TESTOVANI HYPOTEZ ======

===== Příklad 7 =====
Když je ∂ > 2,8, blíží se bouřka. Zadány dva intervaly A 99% (2,757; 5,8) a B 98% (2,875; 5,575)\\
Ho:sigma≤2,8 Ha:sigma>2,8\\
a) blíží se bouřka?\\
b) který interval a proč jste použili?\\

==== Řešení ====
Předpokládám, že chtěli 99% jistotu\\
pro Ha je interval   (číslo, nekonečno)\\
chci jednostranný 99% (1% vlevo, vpravo do nekonečna) a pro obousměrné to je 1% na každé straně (tedy 98%)\\
Volim B interval a použiji z něj číslo vlevo\\
Výsledek (2.875 , nekonečno)\\
2.8 do něj nepatří, takže zamítáme Ho\\

===== Příklad 7 =====
Blíží se bouřka, pokud přijde vítr rychlejší než 2.9 m/s. Máme dva intervaly A (2.7; 5.5) s pravděpodobností 98% a B (2.8; 5.3). Hypotéza H0 že bude bouřka proti H1, že nebude.
==== řešení ====
Nemůžeme nic zamítnout, protože tam leží 2.9 v obou intervalech. Pouzijeme interval A, abychom se dopustili chyby 1%, ale stejne nam z nej nic nevyleze.

Edit summary

Note: By editing this page you agree to license your content under the following license: CC Attribution-Share Alike 4.0 International